空气动力学方程北航气氛动力学课件

 新闻资讯     |      2019-07-17 05:49
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  正在理 念弗成压流中,但像如许一根独自的涡线所发作的流场,位函数值能够差随便常数而不影响 活动。正在 x 轴上距原点为b处安置强度为Г 顺时针挽回的点涡,v ? ?? ?y ? ? ?? r?? ?? ?x ? ? ?? ?r Folie21 极 坐 标: Vr ? ? ,从物理上这个结果很好理会,称半无尽体。笔直于来流目标的氛围动力分力称为升力,θ=π) 定常数c,核内流体的不是与 r 成反比,北京航空航天大学《氛围动力学》邦度精品课 2010年版本 Folie51 粘性流体绕圆柱的活动显示实践 有攻角机翼绕流尾流场中的旋涡 二维圆柱扰流的卡门涡街 北京航空航天大学《氛围动力学》邦度精品课 2010年版本 Folie52 3.3、 少少方便的迭加举例 3、直匀流加偶极子加点涡(有环量的圆柱绕流) 正在直匀流加偶极子的活动之上。

  速率趋近于无尽大,2 x x ? y 2 ? C? (x - c ) ? y 2 2 ? c 2 北京航空航天大学《氛围动力学》邦度精品课 2010年版本 Folie28 3.2、几种方便的二维位流 偶极子的流函数: 取 h→0而 Qh/2π=M 依旧稳固 的极限结果,? 支配儒可夫斯基升力定律;正在上述进程中,y ) ? sin ? ? /2 ? /2 1 L ? ?2 ?r ?? / 2 p sin ? d ? ? 2 ? r ?V 1 ?? / 2 r vd ? p ? p? ? V 2 2 1 2 ? (V ? ? V ) 2 2 2 ? V r ? V? 2 2 ? V? ? a ? 2 2 1 ? 2 ? cos ? ? V? ? r ? ? 2 ? a ? ? ?V? ? a ? 2 1 ? 2 ? s in ? ? ? 1 ? 2 ? s in ? ? ? 2 2 r ? 4? r ?r ? r ? ? 2 2 2 2 北京航空航天大学《氛围动力学》邦度精品课 2010年版本 Folie57 3.3、 少少方便的迭加举例 正在上述外达式中,比值越大,? ? M x x 2 ? y 2 Folie74 解2. 正在 x 轴上距原点为b处安置点源(源强度为Q),北京航空航天大学《氛围动力学》邦度精品课 2010年版本 Folie45 实践演示的直均流加点源和点汇的其他例子 直均 流加 等强 度点 源、 点汇 直均 流加 变强 度点 源 用分 布的 点源、 点汇 构制 物面 直均 流加 偶极 子 Folie46 3.3、 少少方便的迭加举例 2、直匀流加偶极子(无环量的圆柱绕流) 惟有当正源和负源的总强度等于零时,位函数和流函数如下 ? ? Q 2? Q 2? [ln (x ? h) 2 ? y 2 ? ln x 2 ? y ] 2 ? ? ?? 1 ?? 2 ? y x ? h 此中 ? 1 ? arctg ? 2 ? arctg y x 吐露流场点 P 差异与源和汇连线与x轴之间的夹角。m j ? ? 吐露第 j 段内偶极子的强度。y ? Q 2V ? 即流线正在无尽远方趋于宽度为 D ? 2y ? 的直线。以及众元一次联立方程组解的担心稳性。? x ,这个变更率极大,压强p可直接由Bernoulli方程取得。蜕化区别的偶极子密度分散,有环量的绕圆活动其驾御仍是对称的,这是不实际 的。涡对待外部流场是发作诱导速率的(即扰 动),它像一道围墙一律。

  其功用和一个偶极子没什么区别。无环量时,彻体力略去不计;另一族为等势线 ,本章该当商讨怎 样求解这些方程。那条直线便是它的轴线。过 了最大速率点自此,而不影响流体的运动。有 d? ? ?? ?x dx ? ?? ?y dy dx u ? dy v ? ? vdx ? udy ? 0 上式即为平面活动的流线方程。北京航空航天大学《氛围动力学》邦度精品课 2010年版本 Folie18 3.1、平面弗成压位流的基础方程 理念弗成压缩流体平面定常无旋活动数常识题的提法 共有三种数学提法。氛围动力学根源 第三章理念弗成压缩流体平面位流 (6学时) Folie1 第3章 理念弗成压缩流体平面位流 3.1 理念弗成压缩流体平面位流的基础方程 3.2 几种方便的二维位流 3.2.1 直匀流 3.2.2 点源 3.2.3 偶极子 3.2.4 点涡 3.3 少少方便的活动迭加举例 3.3.1 直匀流加点源 3.3.2 直匀流加偶极子 3.3.3 直匀流加偶极子加点涡 3.4 二维对称物体绕流的数值解 北京航空航天大学《氛围动力学》邦度精品课 2010年版本 Folie2 3.1、理念弗成压缩流体平面位流的基础方程 对待理念弗成压缩流体,就能够独自解出 速率位函数,? v? ?x 2 ? ? ? 2 ?y 2 ? 0 ? C ? 0,由此可得出,是 ? ? ?M y x ? y 2 2 ? ? Q 2? ?? 1 ? ? 2 ? y x ? h y x ? 1 ? a r c tg ? 2 ? a r c tg 流线也是少少圆。

  环节的题目正在于务必有一个绕物体的环量存正在。而没有Vr 。无论是理念流体依然粘性流体,流线与等势线的斜率乘积为 解释流线与等势线正在统一点正交。d? ? V s d n 流 函 数 的 增 量 ( 沿 垂 直 于 流 线 方 向 增 加 最 速 ) d? ? Vsds 势函数的增量(沿流线目标弥补最速) dn ds ? d? d? dn ? ds d? ? d ? 北京航空航天大学《氛围动力学》邦度精品课 2010年版本 Folie17 3.1、平面弗成压位流的基础方程 流网不光能够显示流速的分散情景(目标),就能够取得一个对未知 函数的 n 元一次联立代数方程组: n ? i ? 0 ? v? yi ? ? j ?1 C ij m j i ? 1,核外是无旋流。希罕是可将速率和压力 分隔求解。现正在咱们斟酌一种极限情景!

  y,或最低压强点。北京航空航天大学《氛围动力学》邦度精品课 2010年版本 Folie7 3.1、平面弗成压位流的基础方程 (边境条款) 边境条款是正在流场边境上章程的条款,2010年版本 Folie35 3.2、几种方便的二维位流 寻常地说,且都过源点O: y x ? y 2 2 ? C? x ? (y - c ) ? c 2 2 2 两个分速的外达式是: u ? v ? ?? ?x ?? ?y ? M (y ? x ) 2 2 (x ? y ) 2 2 2 ? ?M c o s 2? r 2 ? ? M 2 xy (x ? y ) 2 2 2 ? ?M s in 2 ? r 2 合速率为: V ? u 2 ?v 2 ? M r 2 北京航空航天大学《氛围动力学》邦度精品课 2010年版本 Folie29 3.2、几种方便的二维位流 要提防,可睹点涡与点源的位函数与流函数 只是对换了一下(上述负号只是代外涡转向)。假设速率势函数知足拉普拉斯方程,无论是有涡活动 依然无涡活动,分段的数目不宜太众。负源(别名汇)是一种与正源流向相反 的向心活动。?? ?x ?? ?y 其流速为 位函数为 u ? a,如许下列微分必然是 某个函数的全微分,对待无 旋活动,确定偶极子密度。(1)以速率势函数为未知函数的提法 ? ? 2 ?x ?? 2 ? ? ? 2 ?y 2 ? 0 ?? ?y ? (2)以流函数为未知函数的提法 ? ? 2 ?n ? 0,要念取得这些偏微分方程的解,往后气流继沿物面加快,? B B ? (u d x ? v d y ? w d z ) ? ? ( ? x A A ?? dx ? ?? ?y dy ? ?? ?z B dz ) ? ? d? A ? ?B ??A 北京航空航天大学《氛围动力学》邦度精品课 2010年版本 Folie11 3.1、平面弗成压位流的基础方程 3、流函数及其本质 遵循上等数学中。

  结果,再把一个轴线指向负 x 的偶极子放正在坐标 原点处。假设把源放正在坐标原点上,C ?? ?x ? ? u? ,设每段的宽度 为△ξ,从连绵方程启程,往往是给定物体的外形来确定其活动的特色。x’ 提示:坐标旋蜕变换合联为: x ? x cos ? ? y sin ? ,v ? ?? ?y ? Q 2? x ? y 正在 x 轴线上有一个合速为零的点,这个结论 不适当真相。

  活动的位函数和流函数差异是: ? ( x,驻点越往下移。但容易的依然愚弄 ? V? ? ? 2? r 积分后得: ? ? ? 2? ? ? ? 2? arctg y x 昭着等位线Φ =C是 一系列射线 如何求流函数? 求流函数可由极座标卑鄙函数与位函数的柯西-黎曼合联: ?? ?r ? ? ?? r?? ? ?V? ? ? ? 2? r 积分得: ? ? ? ? 2? ln r ? ? ? 4? ln( x ? y ) 2 2 昭着流线ψ = C 是一系列一心圆,? 认识二维对称物体绕流数值解法次序 Folie70 本章商讨何如求解弗成压理念流体无旋运动的次序 ? 正在理念弗成压条款下欧拉方程和连绵方程囊括四个方程和四个未知函 数(u,称为点涡的强度,则能够确定流场内任 意点处的流函数。轴线 和 x 轴成 θ 角,愚弄无旋活动和连绵条款所取得的这个方程是大 家熟知的二阶线性偏微分方程,y ) ? V? ? r ? cos? ? ? ? r ? 2? ? 2 北京航空航天大学《氛围动力学》邦度精品课 2010年版本 Folie53 y 3.3、 少少方便的迭加举例 正在极坐标下,原委驻点A的流线BAB′是一条奇特的流线 。圆周速率为:V ? ? ? 2 V ? sin ? ? 驻点现正在不正在 ? ? ? ,下面方便地敷陈用数值形式求解已知物体形式确定绕物体活动特色 的进程。假设相邻流线之间的流函数差为 常数,对偶极子密 度来说,除真正的涡心那 一条线(正在平面里便是一点)以外。

  z ) ? ? 2 ? ? ? ? C (t ) 边境条款为 ?n ? 0 p ? ps ? ? V ? V? 正在流体力学中的边境条款众半属于第二类边境条款,把它看作很 微细就行了。其阻力都是零。把流场划分成为两片面。昭着,北京航空航天大学《氛围动力学》邦度精品课 2010年版本 Folie50 3.3、 少少方便的迭加举例 达朗培尔疑题 达朗培尔(D’Alembert)18世纪法邦有名数学家,正在这个圆上 Vr =0,自后才理解,此中有环量和无环量绕流情景作了对照。当h→0,上半圆上的负压远远突出下半圆上的负压,(2) 速率位函数沿着某一目标的偏导数等于该目标的速率分量,故流速 vr 与半径成反比。Folie55 3.3、 少少方便的迭加举例 用动量定理来盘算绕圆柱的有环量活动的升力。外边境为 无尽远。只是这个物体 后面是不封口的。

  边境一般分为内边境和外 边境。z ) 固壁面条款 自正在面条款 无尽远方 p ? p0 ( x,Folie33 3.2、几种方便的二维位流 如点涡地位不正在原点,每一点均存正在速率势函数和流 函数值。

  η)处 Q 2? ? ? ln (x ? ? ) 2 ? (y ??) 2 ? ? Q 2? ?? ?x ?? ?y arctg Q y ?? x ?? (x ? ? ) 2 2 u ? ? 2? ( x ? ? ) ? ( y ? ? ) Q (y ??) 2 v ? ? 2? ( x ? ? ) ? ( y ? ? ) 2 北京航空航天大学《氛围动力学》邦度精品课 2010年版本 Folie25 3.2、几种方便的二维位流 3、偶极子 等强度的一个源和一个汇,边境条款分为三品种型: (1)第一边值题目(狄利希特题目):给出边境上位函数本身值 (2)第二边值题目(诺曼题目):给出边境上位函数的法引导数值 (3)第三边值题目(庞卡莱题目):给出片面边境上位函数本身值,其位函数和流函数差异为 ? ? ? 2? ? ? ? ? ? 2? ln r 等势线 如何求位函数? y 由几何条款可立时写出 u 、 v 分量: u ? ? V ? sin ? ? ? Vθ 2 v ? y 2? r r ? ? ? 2 y 2? x ? y u θ x v ? V ? cos ? ? ? x 2? r r ? ? 2? x ? u 2 x ? y 2 位函数可由上式代入 极座标合联: ?? r?? ?? ?x 然后积分求出,偶极子是源汇无尽挨近的极限情景,正在 x 轴上 x =a和 x =b 限度内连绵分散一系列的偶极子,流线是气流弗成逾 越的线。A点是驻点,流线疏落的地方流速小。y?0 ? ? ?? ?x ? ? ( x ? b) 2 2 2 ?( x ? b ) ? y ? ? 1 . 2 o b . x 2? 2 b 假设求b/2处速率,速率位函数知足 拉普拉斯方程,涡正本是 有旋活动,拉普拉斯方程的解若正在给定边境上能知足上述条款,这就解释了物形对升力没 有直接的合联,? ? V s ds ? V ? d s ? udx ? vdy ? wdz ? ? V ? ds dx dy dz Vs ? ? u ? v ? w ds ds ds ds Vs ? ? ? dx ? x ds ? ? ? dy ? y ds ? ? ? dz ? z ds ? ?? ?s 北京航空航天大学《氛围动力学》邦度精品课 2010年版本 Folie10 3.1、平面弗成压位流的基础方程 (2)速率势函数知足拉普拉斯方程,而正在(ξ,并非易事 。这个半无尽体正在 +x 无尽远方。

  求弗成压理念无旋流绕物体的活动题目就转化为求解拉 普拉斯方程的知足给定边条的特解这一数常识题 北京航空航天大学《氛围动力学》邦度精品课 2010年版本 Folie9 3.1、平面弗成压位流的基础方程 2、速率势函数的本质 (1)速率势函数沿着某一目标的偏导数等于该目标的速率分量 ,可是,而 是与r 成正比。正在第二章中已给出这些方程的推导进程,求该点涡速率相当于求b点速率。速率为 V∞ ,从而得流线BAB′的方程为: y ? Q 2? V ? (? ? ? ) 用直角坐标外达,对封锁弧线,3. 同上图,设半径为r处的流速是 vr,?? ?x ? ? ? v? ,其值与至中央的隔绝成反比,速率 线积分与道途无合,这种理念模子的 解依然有相当的可托水准。这是由于方程中的对流项黑白线性的,等于单宽流量增量。以原点为中央,为了简化求解题目!

  从驻点往后,放正在 x 轴线)处。咱们把偶极子分散区域分成等宽度的 n 段,,弗成以永远贴着物体流下去,此外再有 ? a ? ?r ? ? ? 0 ? ? r ? ? 2 是半径为 a 的圆。由 速率分散知: x ? ?? 时,均存正在流函数。η),段数 n 可遵循盘算机容量及结果的无误度哀求而确定。

  以速率 V∞ 流落伍将盘踞宽度 D=Q / V∞ Folie42 3.3、 少少方便的迭加举例 ? 一概流线谱中,η),任何一个封锁物体的绕流,速率环 量为零。其值二倍于来流的速率,有环量时,求解起来也是很 清贫的。对飞翔器或物体而言,顺时针挽回的点涡的位函数。头部左近变成一个低速高压区,拉普拉斯方程,v ? b d? ? ?? ?x dx ? u ? ? a v ? ? b ?? ?y dy ? adx ? bdy ? ? ax ? by ? c 常用平行于 x 轴的直匀流,如流线密的地方流速大,设直匀流 平行于 x 轴,

  这一点称最大速率点,当段数 n 趋于无尽大时,那末这活动便惟有 v r ,活动是定常的。也能够从圆柱体上的压力分散直接 看到。一个物体放正在气流里,外面上,环量值都 是 Γ ,早期由履历得出来的精良翼型,Cp 降到零,流函数具有下列本质 (1)流函数值能够差随便常数而不影响活动 (2)流函数值相当的点的连线是流线。气 流只可与物体边境相切着流过去。令: ?? ?x ? V? ? M r 2 ? 2 Mx r 4 2 ? 0 北京航空航天大学《氛围动力学》邦度精品课 2010年版本 Folie47 3.3、 少少方便的迭加举例 取得 r 2 ? M /V? ? a 2 a 便是圆半径。流速为 V ? 。假设对这个方程授予妥善的定解条款,原由正在于方程包括非线性项,y?0 ? 0 2 Folie76这一点称为后驻点 。

  y) ? V? x ? Q 2? ln r ? V ? x ? Q 2 Q 4? ln ? x ? y 2 2 ? y 2 2 两个分速是: u ? ?? ?x ? V? ? x 2 2? x ? y ,这种正负源放正在一齐的情景,片面边境上位函数的法引导数值 氛围动力题目大家半属于第二边值题目 北京航空航天大学《氛围动力学》邦度精品课 2010年版本 Folie8 将坐标系与飞翔器或物体固连,自此不断加快 ,北京航空航天大学《氛围动力学》邦度精品课 2010年版本 Folie61 ? 从“野渡无人舟自横”到“香蕉球”技艺 ? 浅叙“香蕉球”的力学道理 Folie62 3.4 二维对称物体绕流的数值解 奇点叠加数值解法 把直匀流和分散的偶极子(或总强度为零的分散点源和点汇)叠加起 来,相应的流函 数和势函数为 d? ? ?? ?x dx ? ?? ?y dy ? ? vdx ? udy ? ? V? y ? c,可将速率值行动已知量代入 运动方程中,这是一个纯运动 学方程。z ) 正在物体的边境上 正在无尽远方 Vn ? 0 V ? V? 推敲: 为什么需求边境条款? 北京航空航天大学《氛围动力学》邦度精品课 2010年版本 Folie4 3.1、平面弗成压位流的基础方程 假设没有无旋条款进一步简化上述方程,x ) ? u cos( m ,核内是有旋流,并且驾御也是对称的,压强系数是: ? sin ? ? Cp ? ? ?? ? ? ?? ?? ?? ? sin 2? 2 u ? ? V? ? ? Q x 2 2? x ? y y 2 2 v ? 2? x ? y * 压强系数与来流参数的确值 p∞ 、V∞ 无合,y,能够通过沿圆柱外观压强积 分(愚弄伯努利方程将压强外为速率分散后积分求得)。流速减到和远前哨来流一律大 。y?0 2 . o b . x ? [ 1 (x ? b) 2 3b ? 2 b ? 1 (x ? b) ]x? b,从而大大简化了题目的庞大性。镜像涡的 流函数(容易求导): ? 镜像 ? ? ? 4? ln[ x ? b ) ? y ] ( 2 2 y v x?b。

  这是由于无旋条款可使合于速率位的方程化为线性方 程,它是有轴线目标的,气 流过了最大速率点自此,外面上是可解的 因为飞翔器的外形都比力庞大,只是这两条割线上的压力和动量进出 都对消了,n ? ? ?C? i i ?1 ? ? 2 i ?x 2 ? ? ? 2 ?y 2 ? ? ? 2 n ?z 2 ? ? i ?1 ? ? ?i ? ?i ? ?i Ci? ? ? 2 2 2 ? ?x ?y ?z ? 2 2 2 ? ?? 0 ? ? (3)速率势函数相当的点连成的线称为等势线,格林公式可知(平面题目的线积分与面积分的合联) ? ?Q ?P ? ? ? ?y ? ?x ? ? dxdy ? ? ? Pdx L ? Qdy ? ?? ? 假设令 P ? ? v Q ? u,当 r →0时,假设偶极子轴线和 x 轴成 θ 角,这时,需求一并求出。走了一段之后,也能够反应速率的大 小。点源(点 汇)、偶极子和点涡的外达;使 Qh 2? ? M 北京航空航天大学《氛围动力学》邦度精品课 2010年版本 Folie27 3.2、几种方便的二维位流 依旧稳固的极限情景。按这个速率分散次序,u ? V? ?

  北京航空航天大学《氛围动力学》邦度精品课 2010年版本 Folie67 3.4 二维对称物体绕流的数值解 睁开上式,限制方程及其初边境条款为 ? ? 2 ?x ?? ?t 2 ? V ? ? 2 ?y 2 2 ? p ? ? 2 ?z 2 ? 0 初始条款为 t ? t 0 ?? ? ? V ? V0 ( x,随后速率赶速上升,正在θ=π/2 处达最大速率,知足解的线性迭加 道理。只消这个围线把点涡困绕正在内,需求一并求出 人们创造正在无旋条款下题目能够取得大大简化,y ) ? V? x ? M why? x r 2 ,分速 Vθ 和离中央点的隔绝 r 成反比 ,流速达最大值,如许正在流场中存正在两族弧线,v ? 0 而源的流量为Q,并且方程中的 速率 V 和压强 p 互相耦合影响,正在本质使用中,咱们能够把外部活动看作是正在 直匀流中放了一个BAB′那样形式的物体所酿成的活动。但上下已错误称了,偶极子密度分散函数具体定需求由流函数求解。过该点的等势函数线方程为 d? ? ?? ?x dy dx dx ? ?? ?y u v dy ? udx ? vdy ? 0 K 2 ? ? ? 正在统一点处。

  从左面远方流来,知足解的线) 速率位函数相当的点连成的线称为等位线,题目的庞大性可进一步简化,一族为流线,速率目标笔直于等势线 ? ? d? ? V ? ds ? 0 ? ? V ? ds (4)毗邻随便两点的速率线积分等于该两点速率势函数之差。y,由此可睹,Vθ=ω r Vθ=k / r r r0 p 北京航空航天大学《氛围动力学》邦度精品课 2010年版本 Folie36 基础解位函数、流函数小结: 直匀流: ? ? ax ? by Q 2? ? ? ay ? bx a y b 点源: ? ? ln r ? ? Q 2? ? x 偶极子: ? ? M x x 2 ? y 2 ? ? ?M y x ? y 2 2 点涡: ? ? ? 2? ? ? ? ? ? 2? ln r Folie37 3.3、 少少方便的迭加举例 1 、直匀流加点源 正在一个平行于 x 轴由左向右流去的直匀流里,b. 试写出位于原点的点汇的位函数。全体的限制面还囊括圆的外观 S1 及毗邻 S 和 S1 的两条割线?

  而是愚弄Bernoulli(或Lagrange)积分取得。这两种形式是等价的。能够用数值形式比力赶速地得回这种方程的有必然准 确度的数值解。理念弗成压缩流体的无旋活动。从而便于独自求得速率位即求出速率。

  北京航空航天大学《氛围动力学》邦度精品课 2010年版本 Folie56 3.3、 少少方便的迭加举例 动量积分方程变为: L ? ? ? p cos( n ,流函数知足拉普拉斯方程 1 ? ?v ?u ? 1 ? ? ?? ? ?? ? 1 ?? ? ? ? ?z ? ? ? ? 0 ? ? ? ? ? (? )? ( )? ? ? ? ? 2 2 ? ? ? ? ? ? 2 ? ?x ?y ? 2 ? ?x ?x ?y ?y ? 2 ? ?x ?y ? 北京航空航天大学《氛围动力学》邦度精品课 2010年版本 Folie15 3.1、平面弗成压位流的基础方程 (5)过统一点的等速率势函数线与等流函数线正交(等势线与流线正交) 等流函数线是流线,速率目标笔直于等位 线) 毗邻随便两点的速率线积分等于该两点的速率位函数之差。2 x ? y ,如图所 示。当 x ? ?? Q V? 时,由左向右流。北京航空航天大学《氛围动力学》邦度精品课 2010年版本 Folie14 3.1、平面弗成压位流的基础方程 (3)流函数正在某一目标的偏导数等于顺时针挽回90度目标的速率分 量 Vn ? Vn ? ?? ?m ?? ?m ? ? ? n ? m ?? ?x ? ?? ?y ? ? v cos( m ,设给定一平面物体C,yi),是谐和函数?

  相当于将璧面去掉正在-b 处安置强度同样为Q的点源: ? ? Q 4? ln[( x ? b ) ? y ] ? 2 2 Q 4? ln[( x ? b ) ? y ] 2 2 y u ? Q 2? Q 2? Q 2? [ x?b (x ? b) ? y 2 2 ? x?b (x ? b) ? y 2 2 ]x? b,将这些基础解举行叠加取得知足尽头方便边境条 件的活动。正在距A不很远的地方,速率环量为零 ? V ? ds ? ? A B 。速率分量与流函数和势函数偏导数合联式为 Vr ? Vr ? ?? ?r 1 ?? r ?? V? ? 1 ?? r ?? ?? ?r V? ? ? 北京航空航天大学《氛围动力学》邦度精品课 2010年版本 Folie24 3.2、几种方便的二维位流 假设源的地位不正在坐标原点,? V? ? L ? ? 北京航空航天大学《氛围动力学》邦度精品课 2010年版本 Folie60 3.3、 少少方便的迭加举例 环量之是以能发作一个 Y 向的协力!

  后 来正在位流外面辅导下,能够不管它,d. 试写出位于原点,这是早期流体力学发扬的一种理念化近似模子,假设是封锁弧线,北京航空航天大学《氛围动力学》邦度精品课 K 1K 2 ? v ? u ? ? ? ? ? ?1 u ? v? 2010年版本 Folie16 3.1、平面弗成压位流的基础方程 (6)流网及其特点 正在理念弗成压缩流体定常平面势流中,试求x=b/2 处的速率外达。π/2]: ? ? arctg y x (1、 像限 ) 4 y x ? ? ? ? arctg ( 2 、 像限 ) 3 Folie41 y ? Q 2? V ? ( ? ? arctg y x ) (1、 象限 ) 4 y ? Q 2? V ? ( arctg y x ) ( 2 、 象限 ) 3 该流线与 y 轴交于 ? Q 4V ? 处,物面上的压强 分散也是对称的,结果是协力 为零。加倍是能够将速率和 压强分隔求解。

  这便是无粘空洞的辅导事理 。吐露 ? j 处的单元偶极子 密度对物体外观某点Pi (xi,活动的基础方程是连绵方程和欧拉运动 方程组。V? ? 3.2、几种方便的二维位流 1、直匀流 直匀流是一种速率稳固的最方便的平行活动。内边境是物体外观,没有径向速率 1 ?? r ?? ? ? V ? (1 ? ) sin ? ? ? 2 V ? sin ? 相应的压强系数为: V 2 2 C p ? 1? ? 1 ? 4 sin 2 ? V? 北京航空航天大学《氛围动力学》邦度精品课 2010年版本 Folie49 3.3、 少少方便的迭加举例 正在圆周前后驻点,正在 θ=150° 处流速加快到和来流的流速一律大了。具有通用性 北京航空航天大学《氛围动力学》邦度精品课 2010年版本 Folie44 3.3、 少少方便的迭加举例 开始,这种近似吐露 才有必然的无误性。V ? ? ? 2 V ? s in ? ? ? 2? a ? 0 ? 2? a ,不必管它受力情景驾御对称,偶极子密度分散的 数值结果趋近于切确解。

  上半圆(θ由π 至0)上的压力分散和下半圆(θ由π至2π)上的压力分散对称,速率线积 分与道途无合,求这个绕流题目。惟有偶函数积分。? ? V ? y ? M y x ? y 2 2 活动是直匀流流过一个圆。p ? ( p? ? ? 2 V? ) ? 2 ? 2 2 2 ?u 2 ?v 2 ? C p ? p ? p? 1 2 ?V? 2 弗成压无粘流时: C p ? 1 ? V why? ?? ?x ?? ?y Q 2 V? 沿这个半无尽体的皮相面,速率势函数允 许相差随便常数,北京航空航天大学《氛围动力学》邦度精品课 2010年版本 Folie38 3.3、 少少方便的迭加举例 令 uA=0,弗成以举行完 全的减速结果秤谌目标是有一个阻力的 。这个核的尺寸实情 有众大?它是因流体的粘性巨细及涡强健小而区别的。则需写出一概流函数: ? ? ? ? 4? ln[ x ? b ) ? y ] ? ( 2 2 2题.3题图 ? 4? ln[ x ? b ) ? y ] ( 2 v x? b,流场 中某必然点P处的流函数为: n ? ? v? y ? 式中 ? j ? j ?1 m j??y ?x ? ? ? j 2 ? y 2 为第 j 段中点离原点的隔绝;且相互互相正交。y 轴为璧面,这个冲突众少逗留了一点流体力学的发扬。

  ? ? v? ( 2 ? r ) v? ? ? 1 2? r 式中的 Γ 是个常数,c. 试写出位于原点,流速惟有 Vθ,即 ? ? ? rot V ? ? ? V ? 2 ? ? 0 存正在速率势函数(位函数)为 ? V ? ?? u ? ?? ?x v ? ?? ?y w ? ?? ?z 推敲: 速率和压力需求耦合求解是什么有趣? 北京航空航天大学《氛围动力学》邦度精品课 2010年版本 Folie5 3.1、平面弗成压位流的基础方程 假设将上式代入弗成压缩流体的连绵方程中,内边境即飞翔器或物体外观,y ) ? V? ? r ? ? s in ? r ? r ? ? ? 2 2 ψ=0是一条奇特的流线。这个活动不光上下是对称的?

  要正在知足如斯庞大的边境条款下求该 偏微分方程组的解析解黑白常清贫的,则势函 数和对应流函数差异为: ? ? M x ? y 2 2 ? x cos? ? y s in ? ? ? ? ? M x ? y 2 2 ( y c o s ? ? x s in ? ) 假设偶极子位于(ξ,提防到反正切的值域为[-π/2,推敲: 为什么二维活动必然存正在流函数? 北京航空航天大学《氛围动力学》邦度精品课 2010年版本 Folie13 3.1、平面弗成压位流的基础方程 流函数的观念是1781年Lagrange开始引进的。而压强可愚弄伯努利方程 求解 本章的思绪是,其环量等于零。从源出来的流量都进入汇。再正在圆心处加一个强度为(– Γ) 的点涡(顺时针转为负)。先针对理念弗成压无旋流求得少少模范的速率位基础 解,前后驻点对 y 轴是对称的。那么这个源的总流量是 Q ? 2 ? rv r y vr ? Q 1 2? r x 流量是常数,流函数是一个积分方程,?? ?y ? ? u? (3)以复位势w(z)为未知函数提法 w ( z ) ? ? ? i? 需哀求解知足必然定解条款的正在C外区域内的解析函数。θ=π,先容用基础解举行叠加的数值解法大意 Folie71 ? ? ? Folie72 小实验(15分钟) 1. a. 试写出从 –y 流向 +y ,并且方程中速率与压强互相耦合,这个角度分开π和0°的 众少定夺于环量对速率乘半径a之比值;他提出,圆心都正在 y 轴上。

  有了环 量又有一个直匀流,北京航空航天大学《氛围动力学》邦度精品课 2010年版本 Folie65 3.4 二维对称物体绕流的数值解 1、数值解法次序 开始,y) ? lim ? ln ? 2 2 4? h ? 0 ? x ? y ? Q 2 2 2 ? Q 4? lim 2hx x ? y 2 2 h? 0 ? M x x ? y 2 2 对偶极子而言,物形才是封锁的。对待无旋运动情景,可是,y ? y cos ? ? x sin ? ? ? x ? ? ? M x y 2 ? y 2 ,取得: ? ? ?V ? ? ? ? ? ? 0 ?u ?x ? ?v ?y ? ?w ?z ? 0 ? ? 2 ?x 2 ? ? ? 2 ?y 2 ? ? ? 2 ?z 2 ? 0 由此可睹,把坐标原点放正在源所正在的地方!

  Cp 是(–3.0)。流线是少少一心圆。只是本质活动驾御是错误称的,y ) ? V? ( x ? a x r 2 2 ? ? a ? a ? ) ? V? ? r ? ? cos ? ,这一点的 Cp 必然等于 +1。y ) ? V? ? r ? s in ? ? ln r ? r ? 2? ? 2 ? a ? ? ? ( x,速率 位函数的数值沿着流线) 对待理念弗成压缩无旋活动,? ? ? M x y ,指向逆时针目标!

  迭加取得的位函数是: ? ( x,(2)由Bernoulli方程确定流场中各点的压强。2010年版本 北京航空航天大学《氛围动力学》邦度精品课 Folie69 本章基础哀求 ? 支配平面弗成压位流中位函数与流函数的本质与合联。D EF ? Q 2V ? 2010年版本 Folie40 北京航空航天大学《氛围动力学》邦度精品课 流线BAB′的形式能够遵循流函数 ψ=c 画出来,但对它己方的重心是没有诱导速率的。那 么奈何确定压强呢?正在这种情景下,其界说是外地静压 减去来流静压再除此后流的动压头。

  只消把速率势函数解出,是谐和函数。V? ? ? ?V ? ?r r ? r ?? ? 2 ?? ? a ? ? 1 ? 2 ? s in ? ? ? r ? 2? r ? 2 北京航空航天大学《氛围动力学》邦度精品课 2010年版本 Folie58 3.3、 少少方便的迭加举例 正在 y 目标的速率分量是: v ? V r s in ? ? V ? c o s ? ? V ? (1 ? a r 2 2 ) c o s ? s in ? ? V ? (1 ? a r 2 2 ) s in ? c o s ? ? ? 2? r cos ? ? a ? Vr ? ? V ? ? 1 ? 2 ? cos ? ? ? ?r r ? ? ?? 2 ? /2 Lv ? ? 2 ? ?? /2 r1 ? V r v d ? ? /2 ? ? ? 2 ? - 2 ? r1 ? V ? (1 ? 2 ) ? ? ? cos ? d? r1 ? 2 ? r1 ? ?? /2 a 2 ? /2 ? ??V? ? ? ?? /2 (1 ? a r1 2 2 ) cos ? d? 2 ? ??V? 2 (1 ? a r1 2 2 ) 单元长度圆柱所受的总升力为: ? ? a ? 1 a ? L ? L p ? Lv ? ? V? ? ?1 ? 2 ? ? ? V? ? ?1 ? 2 ? ? ? V? ? ? ? ? ? 2 r1 ? 2 r1 ? ? ? 1 2 2 Folie59 3.3、 少少方便的迭加举例 只消是一个封锁物体,这时粘性力势必要 起功用(粘性力与速率的法向变更率成正比)。北京航空航天大学《氛围动力学》邦度精品课 2010年版本 Folie19 位函数Φ的本质小结 d? ? ?? ?x dx ? ?? ?y dy ? udx ? vdy ? 0 (1) 速率位函数由无旋条款界说,? 支配四种基础而主要的位流活动即:直匀流,比求解确凿粘性 活动题目要容易的众。压强快速低落。假设沿着流线度取n方 ?? ?? 向!

  对 庞大外形的绕流,这是大家钝头物体低速活动的特质。则外边境正在远离物体处,u x? b,其速率为V∞,确定 流场内各点处的速率及压强值。正向指向第三象限,即驻点 A。继而求出速率值。,Cp 达最小值。正在本质使用时,即 Vs ? d? dn ? dq dn V s1 Vs2 ? dn 2 dn 1 吐露流速 与相邻流线的间距成反比,本质涡老是有一个核,? ( x。

  仅定夺于两点的地位。由流函数和速率以及速率与压强的合联确定流场中各点及物体外观 的速率分散和压强分散。代外这个物体功用的正负源的强度总和务必 等于零。是以有一个 向上的协力,这时位函数造成: ? x ? y ? 2 xh ? h ? ? (x,对待 ? ? Q 2 的流线方程为: V ? r sin ? ? Q 2 Q 2? ? ? Q 2 取得解为: ? ? ? ?? 解释是通过驻点的一条秤谌流线 Q V ? sin ? 2 (1 ? 对待非秤谌流线,,是一种很有代价的合乎 逻辑的空洞,这个尺寸不大,不肯意流体穿过或外观法向速率为零 外边境 ?? ?x ? V? ?? ?y ? ?? ?z ? 0 内边境 ?? ?n V? ? 0 n为物面法向 能够外明,y?0 ? ? 2 ?? ?x ? ? 2? ( 1 x?b ? 1 x?b ) x? b ? 2 4? 1 3? b ,所取得的组合活动为对称封锁物体绕流。假设偶极子密度的分散时势已知!

  这使得速率和压强的求解过 程分隔举行,譬如 ,每一个网格的边长之比等于势函数和流函数的增值之比。前面吐露的偶极 子是以 x 轴为轴线的,2 ,定出来:sin ? 0 ? ? ? 4 ? aV ? 正在第三和第四象限内,z) p ? p (x,解出p值。遵照正在边境上所给条款是针对位函数本身依然位函数的法引导数,逆时针 目标为正。? ? 0 其地位能够从: V ? ? 0 ,即 d? ? ? v d x ? u d y ?? ?y d? ? ?? ?x ?? ?x dx ? ?? ?y dy ? ? vdx ? udy u ? v ? ? 这个函数称为流函数。北京航空航天大学《氛围动力学》邦度精品课 2010年版本 Folie66 3.4 二维对称物体绕流的数值解 用物面边境条款来确定待求的偶极子密度 对待给定物体外形上的n个已知点(xi,由于本质飞翔器的外形都比力庞大,y 轴为 璧面,圆的半径能够从驻点A的坐标定出来。正在 绕流物体不脱体的情景下,

  求它的解是比力清贫的。y ) ds ? S ? ?V S n vds Lp Lv ds ? r1 d ? 正在 r1 的大圆上: cos( n ,无尽远为直均流,下列线积分与道途无合(盘绕封锁弧线的线积分为零) 存正在的填塞须要条款是 ?u ?x ? ?v ?y ? 0 ? ? vdx L ? udy ? 0 北京航空航天大学《氛围动力学》邦度精品课 2010年版本 Folie12 3.1、平面弗成压位流的基础方程 这是弗成压缩流体平面活动的连绵方程。Folie20 位函数 Φ 和流函数 之间知足柯西-黎曼条款: 笛卡儿坐标: ?? ?x ?? ?r ? ?? ?y ?? r?? ?? ?y ?? r?? ? ? ?? ?x ?? ?r 极 坐 标: ? ? ? 速率分量与位函数和流函数之间的合联是: 笛卡儿坐标: u ? ?? ?x ?? ?r ? ?? ?y ?? r?? ,相应的压强也趋于负无尽大,正在远离物体的地方(咱们能够取 r1 很大),其宽度 (y 向尺寸)趋势一个渐近值 D 为: D ? Q V? 北京航空航天大学《氛围动力学》邦度精品课 2010年版本 Folie43 3.3、 少少方便的迭加举例 一般将压强外为无量纲的压强系数 Cp !

  则势函数和流函数差异为: ? ? M ( x ? ? ) c o s ? ? ( y ? ? ) s in ? (x ? ? ) ? (y ?? ) 2 2 ? ? ?M ( y ? ? ) c o s ? ? ( x ? ? ) s in ? (x ? ? ) ? (y ?? ) 2 2 北京航空航天大学《氛围动力学》邦度精品课 2010年版本 Folie30 3.2、几种方便的二维位流 4、点涡 点涡是位于原点的一个点涡的活动,而正在A点(ξ,Folie73 解1a. Φ =V∞y b. c. d. ? ? ? ? ? ? Q 2? ? 2? ln r ? y’ x’ ,速率势函数沿着流线目标弥补。但不包括点涡正在内的围线,y y y ? y cos ? ? x sin ? 。

  清贫是相当大的。正在 θ=0°处降为零,轴线指向-y轴的偶极子的位函数。

  外面的是直匀流绕此围 墙的活动,用位函数叠加法比用流函数法更广 泛。x 1.d 图 o b . y’ x 2题.3题图 2. 正在 x 轴上距原点为b处安置点源(源强度为Q),流函数的外 达式是 ? ? Q 2? ? 或 ? ? Q 2? arctg y x 2010年版本 Folie23 北京航空航天大学《氛围动力学》邦度精品课 3.2、几种方便的二维位流 位函数从 v r 的式子积分取得 ? ? Q 2? ln r r ? x 2 ? y 2 正在极坐标系中,它能使咱们把影响活动的种种身分分隔来看懂得。则它们的线性组合也知足 拉普拉斯方程。? ? 3? 2 ? ? ) 相应的半径 r 为: Q (1 ? r ? 1 ? ? V ? s in ? 2 )? Q 4V ? ,其正向为轴线上的流线目标,即等流函数线的切线目标与 速率矢量目标重合 正在流函数相当的线上,? /2 L p ? ?2 ?r ?? / 2 1 p sin ? d ? 2 ? ?V? ? a ? ? -2 ? r1 ? ? (1 ? 2 ) ? sin 2 ? r1 r1 ? ? ?? / 2 ? ?V? ? 2 (1 ? a r1 2 2 ? /2 2 ?d? ) 对待单元时辰动量的净流出量盘算如下: ? a ? 1 ?? Vr ? ? V ? ? 1 ? 2 ? c o s ? ,则点涡的位函数和流函数为: ? ? ? 2? a r c tg y ?? x ?? ? ? ? ? 2? ln ?x ?? ? 2 ? ? y ?? ? 2 沿随便形式的围线盘算环量,咱们只盘算 Y 目标协力就行了。y ) ?x ?m ?y ?m 遵循流函数这一本质,则有 Vs ? ?n Vn ? ? ?s ? 0 2 2 (4)理念弗成压缩流体平面势流,? ? V? x ? c 2010年版本 Folie22 北京航空航天大学《氛围动力学》邦度精品课 3.2、几种方便的二维位流 2、点源 源能够有正负。假设分段数目较众。

  且 都过原点。该流线通过驻点的 x 轴线;是以,以前驻点往后 流,两个分速率为 ? a ? Vr ? ? V? ?1 ? 2 ? cos? ?r r ? ? 2 x ?? V? * 此时流函数数值不为零 ? a ? ? ? ? ? V ? ? 1 ? 2 ? s in ? ? r ?? r ? 2? r ? 2 1 ?? r=a仍是一条流线。最大的升阻比只是是几十比一。

  ? ? V ? V (x,奇函数积分为零,于是b处速率只是由镜像涡发作,安排出来的翼型的最大升阻比竟达三百比一。p),如许位函数和流函数能够写为: ? ( x,其余的地方仍是无旋活动。求该 点涡此时的速率巨细与目标。它的边境也是气流弗成越过的界线,v,结果哪个目标的协力也没有。有 : ? ? vdx ? udy ? ? L ? ?u ?v ? ? ?? ? ? x ? y ? d x d y ? ? ? 由此可睹。

  流场的速率旋度为 零,正向指向第三象 限,如许撇开粘性来处罚题目,容易外明,半径 r: r ? 如对待 ? ? ? 2 ,2 ,n 此中 C ij ? ?x yi?? i ?? j ? 2 ? yi 2 为影响系数,求解上面方程组,也能够由位函数启程,正在这种情景下全体求解次序轮廓为: (1)遵循纯运动学方程求出速率势函数和速率分量;库塔-儒可夫斯基定理 一个封锁物体所受升力L等于来流的密度 乘速率再乘以气流目标逆着环流挽回90。即 C 11 m 1 ? C 12 m 2 ? ? ? ? C 1 n m n ? v ? y 1 C 21 m 1 ? C 22 m 2 ? ? ? ? C 2 n m n ? v ? y 2 ? C n 1 m 1 ? C n 2 m 2 ? ? ? ? C nn m n ? v ? y n 愚弄解一次方程组的种种盘算形式,原 来的源和汇放正在哪条直线上,该点流速已达远前哨的来 流速率。与压强p没有举行耦合求解,往后即可由流函数与速率的合联式及伯努利方程,Folie54 下图给出几种区别点涡强度下驻点地位丹青: 昭着。

  两个速率分量为: Vr ? V? ? ?? ?r ? V ? (1 ? a r 2 2 ) cos ? a r 2 2 1 ?? r ?? ? ? V ? (1 ? ) sin ? 2010年版本 Folie48 3.3、 少少方便的迭加举例 正在圆周上,正在流网 中,那时人们以 为用无粘的位流去向理本质活动是没有什么代价的。? x ? x cos ? ? y sin ? ? y ,而没有 v ? 。r = a,本章开始先容流体力学中一类方便的活动问 题,这里要解释的一个真相是,把由这种正交弧线组成的网格叫做流网。咱们本质上是把第j段平分布的偶极子用会合正在该段中 点处的等强度偶极子来取代了。

  速率值为 V∞ 的直匀流的位函数。前面的偶极子是指向 负 x 目标的。2 y ? ? M x ? ? ? 2 ,速率分量为: Vr ? V? ? ?? ?r ? V ? (1 ? a a 2 2 ) cos ? ? 0 a a 2 2 * 绕圆活动正在外观上惟有 周向速率,单元长度内偶极子的强度设为m(偶极子密度)。这个力的出处要紧靠上半圆上的吸力 。? 中心支配直匀流与偶极子和点涡的叠加;由流函数外达: ? ? V? y ? Q 2? ? ? C 由驻点坐标(y=0。

  可是跟着计 算机技艺的发扬,vA=0 即得驻点 xA 坐标为: x A ? ? Q 2? V ? yA ? 0 Folie39 3.3、 少少方便的迭加举例 y 活动的流函数是: ? ? V ? r sin ? ? Q 2? ? ? 对待零流线 是一条通过坐标原点的秤谌线。本质求解并不是直接代入运动方程中,北京航空航天大学《氛围动力学》邦度精品课 2010年版本 Folie3 3.1、理念弗成压缩流体平面位流的基础方程 1、弗成压缩理念流体无旋活动的基础方程 初始条款和边境条款为 ?u ?x ? dV dt ? ?v ?y ? ?w ?z ? 0 ? 1 ? f ? ?p ? 正在t=t0功夫,不 会有 X协力。则离原点隔绝为 ξ 的小区间内由偶 极子发作的流函数为: d ? ? ? b m ?? ? d? 2 y 2 ?x ?? ? 2 ? y 总流函数为: ? ? V? y ? ? ?x ? ? ? a m ?? ? y ? y 2 d? 。正源是从流场上某一点有必然的流量向四面八 方流开去的一种活动。正在粘性功用可轻视的区域,于是 正在笔直于来流的 y 目标协力就不会为零。速率正在半径目标的变更率是: ?v? ?r ? ? ?0 1 2 2? r * 当 r 很小之后,过了最大速率点之 后气流早先减速,正在这 种情景下,归纳起来对待理念弗成压 缩流体无旋活动,及正在边境上给定速率 势函数的偏导数。y,

  这是由于,对待弗成压缩流体的平面活动 (二维题目),试求 x=b/2 处的速率外达。得 c=Q / 2 ,能够得回区别形式的封锁物 体,w,从源流出的流量只可节制正在围线中,画一个 半径为 r1很大的限制面 S,则 解是独一的。yi) 处的流函数奉献。2010年版本 Folie63 3.4 二维对称物体绕流的数值解 北京航空航天大学《氛围动力学》邦度精品课 2010年版本 Folie64 3.4 二维对称物体绕流的数值解 对待本质题目,北京航空航天大学《氛围动力学》邦度精品课 2010年版本 Folie26 3.2、几种方便的二维位流 使用叠加道理,Cp迅 速低落,因 此流线的疏密水准反应了速率 的巨细。但核外的流速是与 r 成反比的!

  便有一个升力。到无尽远的右方,这时的流函数和位函数为 ? a ? ? ? ( x,2 ? y ,用位函数对应的物面条款来处置本质活动题目。压强系数等于1.0。北京航空航天大学《氛围动力学》邦度精品课 2010年版本 Folie6 3.1、平面弗成压位流的基础方程 由此解释,物体的外形能够用零 流线来吐露。因为点涡对本身没 有诱导速率,仅定夺于两点的地位。m j 为第 j 段内偶极子密度的 均匀值;气流减速,要正在知足这些庞大边境条款 下求得基础方程的解,等位线是少少圆心正在 x 轴上的圆,y?0 2 2题.3题图 ? ( ) ? ? v ? 0 2Q 3? b Folie75 解2:标题相当于正在-b处叠加一个环量相当目标相反的点 涡,? 2 ? r1 ? ? 2? ? 2 ? r2 ? 2 ? r1 ? 2 ? r3 ? 2 ? r2 r1? (? AB ? r2 ? CD ? r1? EF ? r3? GN ? r2 ? IJ AB ? ? CD ? ? EF ? ? CD ? ? GI ? ? IJ ) ? ? 北京航空航天大学《氛围动力学》邦度精品课 2010年版本 Folie34 3.2、几种方便的二维位流 这种点涡本来该当看作是一根正在 z 目标无尽长的直涡线。内里的是源流正在此围墙节制之内的活动。即升力。设直匀流沿 x 轴正向流来 ?

  咱们作外部流场的盘算时,? 支配平面弗成压位流的基础方程即拉普拉斯方程的特质、 叠加道理和边境条款;有 d ? ? ? vdx ? udy ? 0 K1 ? dy dx ? v u 另一方面,也能够从流量合联计算出 来。

  ? ,因为本质流体是有粘性的出处,加一个强度为Q 的源,北京航空航天大学《氛围动力学》邦度精品课 2010年版本 Folie68 3.4 二维对称物体绕流的数值解 一朝所给定物体外形的偶极子密度分散曾经解得,因为盘算机容量和盘算机机时的 节制,但同时Q增大,θ=0°。